Question

【題目】已知函數(shù)在處的切線斜率為.

（1）求實(shí)數(shù)的值，并討論函數(shù)的單調(diào)性；

（2）若，證明：.

Answer 1

【答案】（1）見解析；（2）見證明

【解析】

(1)先對函數(shù)求導(dǎo)，由函數(shù)在處的切線斜率為即可求出的值，進(jìn)而可得函數(shù)的單調(diào)性；

(2)要證，即證，構(gòu)造函數(shù)，，用導(dǎo)數(shù)的方法求函數(shù)的最小值和函數(shù)的最大值，即可得出結(jié)論.

（1）

由切線斜率，解得．

，其定義域?yàn)?/span>，

令，解得，故在區(qū)間上單調(diào)遞增；

令，解得，且，故在區(qū)間和區(qū)間上單調(diào)遞減；

（2）由（1）知，定義域?yàn)?/span>．

從而等價(jià)于，

設(shè)，則，.

當(dāng)時(shí)，，當(dāng)時(shí)，.

故在區(qū)間上單調(diào)遞減，在區(qū)間上單調(diào)遞增，

從而在的最小值為.

設(shè)，則，

當(dāng)時(shí)，，當(dāng)時(shí)，

故在區(qū)間上單調(diào)遞增，在區(qū)間上單調(diào)遞減，

從而在的最大值為，

綜上所述，在區(qū)間上恒有成立，即．