Question

【題目】在四棱錐中，平面ABCD，底面ABCD是直角梯形，，，且，，點E是線段PD的中點．

Ⅰ求證：平面PAB；

Ⅱ求證：平面平面PCD；

Ⅲ當直線PC與平面PAD所成的角大小為時，求線段PA的長．

Answer 1

【答案】(I) 證明見解析 (II) 證明見解析(III)．

【解析】

Ⅰ取線段PA的中點F，連接EF、BF，得出，四邊形BCEF是平行四邊形，

即證，得出平面PAB；

Ⅱ由題意得出，，可證平面PAC，從而證明平面平面PCD；

Ⅲ取線段AD中點H，連接CH、PH，可得，，即證平面PAD；得出是直線PC與平面PAD所成的角，從而求得PA的值．

Ⅰ證明：取線段PA的中點F，連接EF、BF，

則，且，

所以四邊形BCEF是平行四邊形，

所以；

又平面PAB，平面PAB，

所以平面PAB；

Ⅱ證明：由題意得，，又，

所以；

又平面ABCD，

所以，且，

所以平面PAC，

又平面PCD，

所以平面平面PCD；

Ⅲ解：取線段AD中點H，連接CH、PH，

可得，，且，

所以平面PAD；

所以是直線PC與平面PAD所成的角，

所以；

所以；

又，

所以．