Question

【題目】已知函數f（x）對定義域內R內的任意x都有f（x）=f（4﹣x），且當x≠2時，其導數f'（x）滿足xf'（x）＞2f'（x），若2＜a＜4，則（ ）
A.
B.
C.
D.

Answer 1

【答案】B
【解析】解：∵函數f（x）對定義域R內的任意x都有f（x）=f（4﹣x）， ∴f（x）關于直線x=2對稱；
又當x≠2時其導函數f′（x）滿足xf′（x）＞2f′（x）f′（x）（x﹣2）＞0，
∴當x＞2時，f′（x）＞0，f（x）在（2，+∞）上的單調遞增；
同理可得，當x＜2時，f（x）在（﹣∞，2）單調遞減；
∵2＜a＜4，
令g（x）= ，x∈（2，4），則g′（x）= ，
令g′（x）＞0，解得：x＞e，令g′（x）＜0，解得：x＜e，
故g（x）在（2，e）遞減，在（e，4）遞增，
故g（x）的最大值是g（2）=g（4）= ，最小值是g（e）= ；
令h（x）= ，則h′（x）= ，
故h（x）在（2，e）遞增，在（e，4）遞減，
故h（x）的最小值是h（2）=h（4）= ，h（x）的最大值是h（e）= ，
故2＞ ＞ ＞ ＞ ，
∴f（ ）＜f ，
而2x＞4，故f（2x）＞f（0），
∴f（ ）＜f ＜f（2x），
故選：B．
由f（x）=f（4﹣x），可知函數f（x）關于直線x=2對稱，由xf′（x）＞2f′（x），可知f（x）在（﹣∞，2）與（2，+∞）上的單調性，從而可得答案．