Question

【題目】在如圖所示的圓柱O1O2中，等腰梯形ABCD內接于下底面圓O1 ， AB∥CD，且AB為圓O1的直徑，EA和FC都是圓柱O1O2的母線，M為線段EF的中點．
（1）求證：MO1∥平面BCF；
（2）已知BC=1，∠ABC=60°，且直線AF與平面ABC所成的角為30°，求平面MAB與平面EAD所成的角（銳角）的余弦值．

Answer 1

【答案】
（1）證明：如圖，取BC的中點N，連接FN，O1N，則O1N平行且等于MF，

∴O1NFM是平行四邊形，∴O1M∥FN，

∵MO1平面BCF，FN平面BCF，

∴MO1∥平面BCF；

（2）在Rt△ABC中，∵BC=1，∠ABC=60°，∴AC= ，AB=2，

∵等腰梯形ABCD內接于下底面圓O1，AB∥CD，且AB為圓O1的直徑，∴DC=1

直線AF與平面ABC所成的角為30°，∴∠FAC=30°，在Rt△AFC中，可得FC=1．

如圖以C為原點，CA、CB、CF分別為x、y、z軸建立坐標系C﹣xyz，

則A（ ，B（0，1，0），E（ ，0，1），F（0，0，1），∴M（ ，0，1），

∵BD⊥AD，AE⊥面ABC，∴DB⊥面AED，平面ADE的法向量為 =（ ，﹣ ，0）；

設面ABM的法向量為 ， ，

，取 ，

平面MAB與平面EAD所成的角（銳角）的余弦值為|cos＜ ＞|=

【解析】（1）取BC的中點N，連接FN，證明O1M∥FN即可；（2）以C為原點，CA、CB、CF分別為x、y、z軸建立坐標系C﹣xyz，求出法向量，利用向量的夾角公式求解．
【考點精析】解答此題的關鍵在于理解直線與平面平行的判定的相關知識，掌握平面外一條直線與此平面內的一條直線平行，則該直線與此平面平行；簡記為：線線平行，則線面平行，以及對空間角的異面直線所成的角的理解，了解已知為兩異面直線，A，C與B，D分別是上的任意兩點，所成的角為，則．