Question

【題目】某電視臺推出一檔游戲類綜藝節目，選手面對1﹣5號五扇大門，依次按響門上的門鈴，門鈴會播放一段音樂，選手需正確回答這首歌的名字，回答正確，大門打開，并獲得相應的家庭夢想基金，回答每一扇門后，選手可自由選擇帶著目前的獎金離開，還是繼續挑戰后面的門以獲得更多的夢想基金，但是一旦回答錯誤，游戲結束并將之前獲得的所有夢想基金清零；整個游戲過程中，選手有一次求助機會，選手可以詢問親友團成員以獲得正確答案． 1﹣5號門對應的家庭夢想基金依次為3000元、6000元、8000元、12000元、24000元（以上基金金額為打開大門后的累積金額，如第三扇大門打開，選手可獲基金總金額為8000元）；設某選手正確回答每一扇門的歌曲名字的概率為pi（i=1，2，…，5），且pi= （i=1，2，…，5），親友團正確回答每一扇門的歌曲名字的概率均為 ，該選手正確回答每一扇門的歌名后選擇繼續挑戰后面的門的概率均為 ；
（1）求選手在第三扇門使用求助且最終獲得12000元家庭夢想基金的概率；
（2）若選手在整個游戲過程中不使用求助，且獲得的家庭夢想基金數額為X（元），求X的分布列和數學期望．

Answer 1

【答案】
（1）解：設事件“該選手回答正確第i扇門的歌曲名稱”為事件Ai，“使用求助回答正確歌曲名稱”為事件B，

事件“每一扇門回答正確后選擇繼續挑戰下一扇門”為事件C；則

， ， …設事件“選手在第三扇門使用求助且最終獲得12000元家庭夢想基金”為事件A，則：

A=A1CA2C ×

∴選手在第三扇門使用求助且最終獲得12000元家庭夢想基金的概率為

（2）解：X的所有可能取值為：0，3000，6000，8000，12000，24000；

P（X=3000）=P（A1 ）= ；

P（X=6000）=P（A1 CA2 ）= × ×（ ）2= ；

P（X=8000）=P（A1 CA2 CA3 ）= ；

P（X=12000）=P（A1 CA2 CA3 CA4 ）= ；

P（X=24000）=P（A1 CA2 CA3 CA4 CA5）= ；

P（X=0）=P（ ）+P（A1C ）+P（A1CA2C ）+P（A1CA2CA3C ）+P（A1CA2CA3CA4C ）= ；

（或P（X=0）=1﹣（P（X=3000）+P（X=6000）+P（X=8000）+P（X=12000）+P（X=24000）

=1﹣ ）．

∴X的分布列為：

X	0	3000	6000	8000	12000	24000
P

∴EX=0× +3000× +6000× +8000× +12000× +24000×

=1250+1000+500+250+250=3250（元）

∴選手獲得的家庭夢想基金數額為X的數學期望為3250（元）

【解析】（1）設事件“選手在第三扇門使用求助且最終獲得12000元家庭夢想基金”為事件A．利用獨立重復試驗求得概率．（2）寫出X的所有可能取值并求得其概率和分布列．
【考點精析】根據題目的已知條件，利用離散型隨機變量及其分布列的相關知識可以得到問題的答案，需要掌握在射擊、產品檢驗等例子中，對于隨機變量X可能取的值，我們可以按一定次序一一列出，這樣的隨機變量叫做離散型隨機變量．離散型隨機變量的分布列：一般的,設離散型隨機變量X可能取的值為x1,x2,.....,xi,......,xn，X取每一個值 xi(i=1,2,......）的概率P(ξ=xi）＝Pi，則稱表為離散型隨機變量X 的概率分布，簡稱分布列．