Question

【題目】已知函數f（x）=ax+x2﹣xlna（a＞0，a≠1）．
（1）求函數f（x）在點（0，f（0））處的切線方程；
（2）求函數f（x）單調增區間；
（3）若存在x1 ， x2∈[﹣1，1]，使得|f（x1）﹣f（x2）|≥e﹣1（e是自然對數的底數），求實數a的取值范圍．

Answer 1

【答案】
（1）解：∵f（x）=ax+x2﹣xlna，

∴f′（x）=axlna+2x﹣lna，

∴f′（0）=0，f（0）=1

即函數f（x）圖象在點（0，1）處的切線斜率為0，

∴圖象在點（0，f（0））處的切線方程為y=1；

（2）解：由于f'（x）=axlna+2x﹣lna=2x+（ax﹣1）lna＞0

①當a＞1，y=2x單調遞增，lna＞0，所以y=（ax﹣1）lna單調遞增，故y=2x+（ax﹣1）lna單調遞增，

∴2x+（ax﹣1）lna＞2×0+（a0﹣1）lna=0，即f'（x）＞f'（0），所以x＞0

故函數f（x）在（0，+∞）上單調遞增；

②當0＜a＜1，y=2x單調遞增，lna＜0，所以y=（ax﹣1）lna單調遞增，故y=2x+（ax﹣1）lna單調遞增，

∴2x+（ax﹣1）lna＞2×0+（a0﹣1）lna=0，即f'（x）＞f'（0），所以x＞0

故函數f（x）在（0，+∞）上單調遞增；

綜上，函數f（x）單調增區間（0，+∞）

（3）解：因為存在x1，x2∈[﹣1，1]，使得|f（x1）﹣f（x2）|≥e﹣1，

所以當x∈[﹣1，1]時，|（f（x））max﹣（f（x））min|

=（f（x））max﹣（f（x））min≥e﹣1，（

由（2）知，f（x）在[﹣1，0]上遞減，在[0，1]上遞增，

所以當x∈[﹣1，1]時，（f（x））min=f（0）=1，

（f（x））max=max{f（﹣1），f（1）}，

而f（1）﹣f（﹣1）=（a+1﹣lna）﹣（ +1+lna）=a﹣ ﹣2lna，

記g（t）=t﹣ ﹣2lnt（t＞0），

因為g′（t）=1+ ﹣ =（ ﹣1）2≥0（當t=1時取等號），

所以g（t）=t﹣ ﹣2lnt在t∈（0，+∞）上單調遞增，而g（1）=0，

所以當t＞1時，g（t）＞0；當0＜t＜1時，g（t）＜0，

也就是當a＞1時，f（1）＞f（﹣1）；

當0＜a＜1時，f（1）＜f（﹣1）

② 當a＞1時，由f（1）﹣f（0）≥e﹣1a﹣lna≥e﹣1a≥e，

②當0＜a＜1時，由f（﹣1）﹣f（0）≥e﹣1 +lna≥e﹣10＜a≤ ，

綜上知，所求a的取值范圍為a∈（0， ]∪[e，+∞）．

【解析】（1）先求函數的導函數f′（x），再求所求切線的斜率即f′（0），由于切點為（0，0），故由點斜式即可得所求切線的方程；（2）先求原函數的導數得：f'（x）=axlna+2x﹣lna=2x+（ax﹣1）lna，再對a進行討論，得到f'（x）＞0，從而函數f（x）在（0，+∞）上單調遞增．（3）f（x）的最大值減去f（x）的最小值大于或等于e﹣1，由單調性知，f（x）的最大值是f（1）或f（﹣1），最小值f（0）=1，由f（1）﹣f（﹣1）的單調性，判斷f（1）與f（﹣1）的大小關系，再由f（x）的最大值減去最小值f（0）大于或等于e﹣1求出a的取值范圍．
【考點精析】根據題目的已知條件，利用利用導數研究函數的單調性和函數的最大(小)值與導數的相關知識可以得到問題的答案，需要掌握一般的,函數的單調性與其導數的正負有如下關系： 在某個區間內，(1)如果，那么函數在這個區間單調遞增；(2)如果，那么函數在這個區間單調遞減；求函數在上的最大值與最小值的步驟：（1）求函數在內的極值；（2）將函數的各極值與端點處的函數值，比較，其中最大的是一個最大值，最小的是最小值．