Question

【題目】已知二階矩陣M有特征值λ=8及對應的一個特征向量 =[ ]，并且矩陣M對應的變換將點（﹣1，2）變換成（﹣2，4）．
（1）求矩陣M；
（2）求矩陣M的另一個特征值．

Answer 1

【答案】
（1）解：設矩陣A= ，這里a，b，c，d∈R，

則 =8 = ，

故 ，

由于矩陣M對應的變換將點（﹣1，2）換成（﹣2，4）．

則 = ，

故

聯立以上兩方程組解得a=6，b=2，c=4，d=4，故M=

（2）解：由（1）知，矩陣M的特征多項式為f（λ）=（λ﹣6）（λ﹣4）﹣8=λ2﹣10λ+16，

故矩陣M的另一個特征值為2

【解析】（1）先設矩陣A= ，這里a，b，c，d∈R，由二階矩陣M有特征值λ=8及對應的一個特征向量e1及矩陣M對應的變換將點（﹣1，2）換成（﹣2，4）．得到關于a，b，c，d的方程組，即可求得矩陣M；（2）由（1）知，矩陣M的特征多項式為f（λ）=（λ﹣6）（λ﹣4）﹣8=λ2﹣10λ+16，從而求得另一個特征值為2．