Question

【題目】已知函數f（x）=2cos2x+2 sinxcosx+a，且當x∈[0， ]時，f（x）的最小值為2．
（1）求a的值，并求f（x）的單調遞增區間；
（2）先將函數y=f（x）的圖象上的點縱坐標不變，橫坐標縮小到原來的 ，再將所得圖象向右平移 個單位，得到函數y=g（x）的圖象，求方程g（x）=4在區間[0， ]上所有根之和．

Answer 1

【答案】
（1）解：化簡可得f（x）=2cos2x+2 sinxcosx+a

=cos2x+1+ sin2x+a=2sin（2x+ ）+a+1，

∵x∈[0， ]，

∴2x+ ∈[ ， ]，

∴f（x）的最小值為﹣1+a+1=2，解得a=2，

∴f（x）=2sin（2x+ ）+3，

由2kπ﹣ ≤2x+ ≤2kπ+ 可得kπ﹣ ≤x≤kπ+ ，

∴f（x）的單調遞增區間為[kπ﹣ ，kπ+ ]，（k∈Z）

（2）解：由函數圖象變換可得g（x）=2sin（4x﹣ ）+3，

由g（x）=4可得sin（4x﹣ ）= ，

∴4x﹣ =2kπ+ 或4x﹣ =2kπ+ ，

解得x= + 或x= + ，（k∈Z），

∵x∈[0， ]，

∴x= 或x= ，

∴所有根之和為 + =

【解析】（1）化簡可得f（x）=2sin（2x+ ）+a+1，由題意易得﹣1+a+1=2，解方程可得a值，解不等式2kπ﹣ ≤2x+ ≤2kπ+ 可得單調區間；（2）由函數圖象變換可得g（x）=2sin（4x﹣ ）+3，可得sin（4x﹣ ）= ，解方程可得x= 或x= ，相加即可．
【考點精析】解答此題的關鍵在于理解兩角和與差的正弦公式的相關知識，掌握兩角和與差的正弦公式：，以及對正弦函數的單調性的理解，了解正弦函數的單調性：在上是增函數；在上是減函數．