Question

【題目】在平面直角坐標系中，直線l的方程為x+y+3=0，以直角坐標系中x軸的正半軸為極軸的極坐標系中，圓M的極坐標方程為ρ=2sinθ． （Ⅰ）寫出圓M的直角坐標方程及過點P（2，0）且平行于l的直線l1的參數方程；
（Ⅱ）設l1與圓M的兩個交點為A，B，求 的值．

Answer 1

【答案】解：（Ⅰ）極坐標方程ρ=2sinθ兩邊同乘ρ，得ρ2=2ρsinθ 其中ρ2=x2+y2 ， y=ρsinθ，x=ρcosθ
所以⊙M的直角坐標方程為x2+y2﹣2y=0…①
又直線x+y+3=0的傾斜角為 ，
所以過點P（2，0）且平行于x+y+3=0的直線的參數方程為
即 ，（t為參數）…②
直線的參數方程不唯一，只要正確給分
（Ⅱ）把（Ⅰ）中的②代入①整理得
設方程的兩根為t1 ， t2 ， 則有
由參數t 的幾何意義知PA+PB=t1+t2 ， PA*PB=t1t2
所以
【解析】（Ⅰ）極坐標方程ρ=2sinθ兩邊同乘ρ，得ρ2=2ρsinθ，從而能求出⊙M的直角坐標方程，直線x+y+3=0的傾斜角為 ，由此能求出過點P（2，0）且平行于x+y+3=0的直線的參數方程．（Ⅱ）把直線的參數方程代入圓的直角坐標方程，得 ，由參數t 的幾何意義能求出 的值．