Question

【題目】春季氣溫逐漸攀升，病菌滋生傳播快，為了確保安全開學，學校按30名學生一批，組織學生進行某種傳染病毒的篩查，學生先到醫務室進行血檢，檢呈陽性者需到防疫部門]做進一步檢測．學校綜合考慮了組織管理、醫學檢驗能力等多萬面的因素，根據經驗，采用分組檢測法可有效減少工作量，具體操作如下：將待檢學生隨機等分成若干組，先將每組的血樣混在一起化驗，若結果呈陰性，則可斷定本組血樣合格，不必再做進一步的檢測；若結果呈陽性，則本組中的每名學生再逐個進行檢測．現有兩個分組方案：方案一：將30人分成5組，每組6人；方案二：將30人分成6組，每組5人．已知隨機抽一人血檢呈陽性的概率為0．5%，且每個人血檢是否呈陽性相互獨立．

（Ⅰ）請幫學校計算一下哪一個分組方案的工作量較少？

（Ⅱ）已知該傳染疾病的患病率為0．45%，且患該傳染疾病者血檢呈陽性的概率為99．9%，若檢測中有一人血檢呈陽性，求其確實患該傳染疾病的概率．（參考數據：（，）

Answer 1

【答案】（Ⅰ）方案一工作量更少．（Ⅱ）0.8991

【解析】

（Ⅰ）設方案一中每組的化驗次數為X，則X的取值為1、7，分別求出相應的概率，求出，從而方案一的化驗總次數的期望值為：次．設方案二中每組的化驗次數為Y，則Y的取值為1、6，分別求出相應的概率，求出．從而方案二的化驗總次數的期望為次．由此能求出方案一工作量更少．

（Ⅱ）設事件A：血檢呈陽性，事件B：患疾病，由題意得，，，由此利用條件概率能求出該職工確實患該疾病的概率．

解：（1）設方案一中每組的化驗次數為X，則X的取值為1，7，

，

∴X的分布列為：

X	1	7
P	0．970	0．030

．

故方案一的化驗總次數的期望值為：次．

設方案二中每組的化驗次數為Y，則Y的取值為1，6，

，

，

∴Y的分布列為：

Y	1	6
P	0．975	0．025

．

∴方案二的化驗總次數的期望為次．

∵，

∴方案一工作量更少．

（2）設事件A：血檢呈陽性，事件B：患疾病，

則由題意得，，，

由條件概率公式可得，

∴該職工確實患該疾病的概率．