Question

【題目】已知函數.

（1）求在點處的切線方程；

（2）當時，證明：；

（3）判斷曲線與是否存在公切線，若存在，說明有幾條，若不存在，說明理由.

Answer 1

【答案】（1）；（2）證明見解析；（3）存在；存在2條公切線

【解析】

（1）計算，根據曲線在該點處導數的幾何意義可得切線的斜率，然后計算，利用點斜式，可得結果.

（2）分別構造，通過導數研究的性質，可得 ，，簡單判斷，可得結果.

（3）分別假設與的切線，根據公切線，可得，利用導數研究函數零點個數，根據性質可得結果.

解：（1）的定義域

又

所以在點處的切線方程為：.

（2）設，

，

	↑	極大值	↓

設則在上恒成立

綜上

（3）曲線與存在公切線，且有2條，理由如下：

由（2）知曲線與無公共點，

設分別切曲線與于，則

，

若，即曲線與有公切線，則

令，

則曲線與有公切線，當且僅當有零點，

，

當時，，在單調遞增，

當時，，在單調遞減

，

所以存在，使得

且當時，單調遞增，

當時，單調遞減

，

又

所以在內各存在有一個零點

故曲線與存在2條公切線.