Question

【題目】設,函數在區間上單調遞增，在區間上單調遞減.

（Ⅰ）若，求的值；

（Ⅱ）求函數在區間上的最小值（用表示）.

Answer 1

【答案】(Ⅰ）；（Ⅱ）.

【解析】分析：（Ⅰ）對函數求導，由為導數的零點，建立等式關系，求出參數c；

（Ⅱ）結合（Ⅰ）中條件，求函數的導數，分類討論不同取值條件下，函數的單調性和在上間上的最小值，綜合后即可答案.

詳解：解：（Ⅰ）求導，得

因為函數在區間上單調遞增，在區間上單調遞增，

所以

又因為，

所以，驗證知其符合題意.

（Ⅱ）由（Ⅰ）得，即.

所以

當時，得當時，

此時，函數在上單調遞增，這與題意不符.

當時，隨著的變化，與的變化情況如下表：

		1
	+	0	-	0	+
	↗	極大值	↘	極小值	↗

所以函數在上單調遞增，在上單調遞減.

由題意，得

所以當時，函數在上的最小值為；

當，函數在上的最小值為

綜上，當時，函數在上的最小值為為

當，在上的最小值為

（或寫成：函數在上的最小值為）.