Question

【題目】假設每天從甲地去乙地的旅客人數X是服從正態分布N（800，502）的隨機變量．記一天中從甲地去乙地的旅客人數不超過900的概率為p0 ．
（1）求p0的值；
（參考數據：若X～N（μ，σ2），有P（μ﹣σ＜X≤μ+σ）=0.6826，P（μ﹣2σ＜X≤μ+2σ）=0.9544，P（μ﹣3σ＜X≤μ+3σ）=0.9974．）
（2）某客運公司用A，B兩種型號的車輛承擔甲、乙兩地間的長途客運業務，每車每天往返一次，A，B兩種車輛的載客量分別為36人和60人，從甲地去乙地的營運成本分別為1600元/輛和2400元/輛．公司擬組建一個不超過21輛車的客運車隊，并要求B型車不多于A型車7輛．若每天要以不小于p0的概率運完從甲地去乙地的旅客，且使公司從甲地去乙地的營運成本最小，那么應配備A型車、B型車各多少輛？

Answer 1

【答案】
（1）解：由于隨機變量X服從正態分布N（800，502），故有μ=800，σ=50，P（700＜X≤900）=0.9544．

由正態分布的對稱性，可得p0=（P（X≤900）=P（X≤800）+P（800＜X≤900）=

（2）解：設A型、B型車輛的數量分別為x，y輛，則相應的營運成本為1600x+2400y．

依題意，x，y還需滿足：x+y≤21，y≤x+7，P（X≤36x+60y）≥p0．

由（1）知，p0=P（X≤900），故P（X≤36x+60y）≥p0等價于36x+60y≥900．

于是問題等價于求滿足約束條件

且使目標函數z=1600x+2400y達到最小值的x，y．

作可行域如圖所示，可行域的三個頂點坐標分別為P（5，12），Q（7，14），R（15，6）．

由圖可知，當直線z=1600x+2400y經過可行域的點P時，直線z=1600x+2400y在y軸上截距 最小，即z取得最小值．

故應配備A型車5輛，B型車12輛．

【解析】（1）變量服從正態分布N（800，502），即服從均值為800，標準差為50的正態分布，適合700＜X≤900范圍內取值即在（μ﹣2σ，μ+2σ）內取值，其概率為：95.44%，從而由正態分布的對稱性得出不超過900的概率為p0 ． （2）設每天應派出A型x輛、B型車y輛，根據條件列出不等式組，即得線性約束條件，列出目標函數，畫出可行域求解．