Question

【題目】設函數，其中.

（Ⅰ）當時，求函數的極值；

（Ⅱ）當時，證明：函數不可能存在兩個零點.

Answer 1

【答案】（Ⅰ）；（Ⅱ）證明見解析.

【解析】分析：（Ⅰ）求出函數的導數，條件下，判斷出函數的單調性，求出函數的極值.

（Ⅱ）令，求得兩個根，對分類討論，分別研究函數的單調性與極值的取值，通過判斷即可證明結論.

詳解：（Ⅰ）解：求導，得，

因為，所以，

所以當時，，函數為減函數；

當時，，函數為增函數；

故當時，存在極小值，不存在極大值.

（Ⅱ）證明：解方程得

當即時，

隨著的變化，與的變化情況如下表：

		1
	+	0	-	0	+
	↗	極大值	↘	極小值	↗

所以函數在，上單調遞增，在上單調遞減.

又因為，

所以函數至多在區間存在一個零點；

當，即時，

因為（當且僅當時等號成立），

所以在單調遞減，

所以函數至多存在一個零點；

當，即時，

隨著的變化，與的變化情況如下表：

				1
	+	0	-	0	+
	↗	極大值	↘	極小值	↗

所以函數在，上單調遞增，在上單調遞減.

又因為，

所以當時，，

綜上，當時，函數不可能存在兩個零點.