Question

【題目】已知M是正四面體ABCD棱AB的中點，N是棱CD上異于端點C，D的任一點，則下列結論中，正確的個數有（　　）
（1）MN⊥AB；
（2）若N為中點，則MN與AD所成角為60°；
（3）平面CDM⊥平面ABN；
（4）不存在點N，使得過MN的平面與AC垂直．
A.1
B.2
C.3
D.4

Answer 1

【答案】C
【解析】解：（1）連結MC，MD，由三角形三線合一可得AB⊥CM，AB⊥DM，∴AB⊥平面MCD，
∵MN平面MCD，∴AB⊥MN，故（1）正確；
（2）取BD中點E，連結ME，NE，則∠NME為MN與AD所成角，
連結BN，由（1）知BM⊥MN，設正四面體棱長為1，則BM= ， BN= ， ∴MN= ，
ME=NE= ， ∴cos∠NME== ， ∴∠NME=45°，故（2）不正確；
（3）由（1）知AB⊥平面CDM，∵AB平面ABN，∴平面CDM⊥平面ABN，故（3）正確；
（4）取BC早點F，連結MF，DF，假設存在點N，使得過MN的平面與AC垂直，
∴AC⊥MN，∵MF∥AC，∴MF⊥MN，
∵DF=DM= ， ∴∠FMD＜90°，同理，∠CMF＜90°．
當N從D向C移動時，∠FMN先減小，后增大，故∠FMN＜90°，與MF⊥MN矛盾．
∴不存在點N，使得過MN的平面與AC垂直，故（4）正確．
故選：C．

【考點精析】關于本題考查的平面與平面垂直的判定，需要了解一個平面過另一個平面的垂線，則這兩個平面垂直才能得出正確答案．