Question

【題目】已知函數(shù)f（x）的定義域為（0，+∞），f′（x）為f（x）的導函數(shù)，且滿足xf′（x）＞f（x），則不等式（x﹣1）f（x+1）＞f（x2﹣1）的解集是 ．

Answer 1

【答案】（1，2）
【解析】解：∵由xf′（x）＞f（x），即xf′（x）﹣f（x）＞0，令F（x）= ，（x＞0），
則F′（x）= ，
∴F′（x）＞0，
∴F（x）為定義域上的增函數(shù)，
（x﹣1）f（x+1）＞f（x2﹣1），
由 ，解得：x＞1，
∴ = ，即 ＞ ，
∴F（x+1）＞F（x2﹣1），
∴x+1＞x2﹣1，整理得：x2﹣x﹣2＜0，
解得：﹣1＜x＜2，
綜上可知：1＜x＜2，
所以答案是：（1，2）．
【考點精析】解答此題的關鍵在于理解基本求導法則的相關知識，掌握若兩個函數(shù)可導，則它們和、差、積、商必可導；若兩個函數(shù)均不可導，則它們的和、差、積、商不一定不可導，以及對利用導數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性的理解，了解一般的,函數(shù)的單調(diào)性與其導數(shù)的正負有如下關系： 在某個區(qū)間內(nèi)，(1)如果，那么函數(shù)在這個區(qū)間單調(diào)遞增；(2)如果，那么函數(shù)在這個區(qū)間單調(diào)遞減．