Question

【題目】如圖，已知四棱錐P﹣ABCD中，PA⊥BD，底面ABCD是邊長為a的菱形，∠BAD=120°，PA=b，AC與BD交于點O，M為OC的中點．

（1）求證：平面PAC⊥平面ABCD；
（2）若∠PAC=90°，二面角O﹣PM﹣D的正切值為 ，求a：b的值．

Answer 1

【答案】
（1）證明：因為底面ABCD是菱形，所以AC⊥BD，

又PA⊥BD，PA∩AC=A，

所以BD⊥面PAC，

又因為 PD面ABCD，

所以 平面PAC⊥平面ABCD

（2）解：由∠PAC=90°可知PA⊥AC，

又由（1）可知平面PAC⊥平面ABCD

平面PAC∩平面ABCD=AC，

所以 PA⊥平面ABCD，

故如圖，

以A為坐標原點，AD，AP所在直線分別為y，z軸建立空間直角坐標系，

則P（0，0，b），D（0，a，0），M（ ， ，0），O（ ， ，0）

從而 =（0，a，﹣b）， =（ a， ，﹣b），

=（﹣ ， ，0），

因為BD⊥面PAC，所以平面PMO的一個法向量為 =（﹣ ， ，0），

設平面PMD的法向量為 =（x，y，z），

由 ， ，得

，

令y=b，得x= ，z=a，即 ，

設 與 的夾角為θ，則二面角O﹣PM﹣D的大小與θ相等，

由 ，得

化簡得 4b=3a，即a：b=4：3

【解析】（1）推導出AC⊥BD，PA⊥BD，由此能證明平面PAC⊥平面ABCD．（2）以A為坐標原點，AD，AP所在直線分別為y，z軸建立空間直角坐標系，利用利用向量法能求出a：b的值．