Question

【題目】已知函數，.

（1）證明函數為奇函數；

（2）判斷函數的單調性（無需證明），并求函數的值域；

（3）是否存在實數，使得的最大值為？若存在，求出的取值范圍；若不存在，請說明理由.

Answer 1

【答案】(1)證明見解析；(2) 在上單調遞增，值域為 (3)

【解析】

（1）證明函數為奇函數，首先判斷定義域是否關于原點對稱。奇函數還要滿足.

（2）可通過改變函數單調性兩個因素：取倒數和負號。較易判斷單調性。單調性知道后值域就在端點出取得.

（3）首先令進行換元，注意換元后的定義域，將帶有根式的函數換元成二次函數進行求解即可.

（1）,

的定義域為

又

奇函數.

（2）判斷：在上單調遞增

在上單調遞增

，的值域為

（3）

令

則，

①時，在單調遞增，

時，（符合題意）

②時，開口向下，對稱軸，

當，即時，時，

；

當，即時，時，（符合題意）

③時，開口向上，對稱軸，

當時，（符合題意）

綜上：.