Question

【題目】已知橢圓的長軸長是短軸長的倍，且過點．

（1）求橢圓的標準方程；

（2）若的頂點、在橢圓上， 所在的直線斜率為， 所在的直線斜率為，若，求的最大值．

Answer 1

【答案】（1）；（2）2.

【解析】試題分析：(1)根據橢圓長軸與短軸的關系列出一個方程，再根據橢圓過已知點列出一個方程，解方程組求出a,b,寫出橢圓的標準方程;(2)由于OA和OB的斜率乘積為定值，因此OA的斜率為，則OB的斜率可表示為，分別把射線OA、OB的方程與橢圓的方程聯立，求出A、B兩點的橫坐標，得出兩點的橫坐標的積，根據OA、OB方程得出A、B兩點的縱坐標的積，從表示出數量積,再利用基本不等式求出最值.

試題解析：

（1）由題意得解得

∴橢圓的標準方程為．

（2）設， ，不妨設， ．

由，∴（），

直線、的方程分別為， ，

聯立

解得， ．

∵ ，

當且僅當時，等號成立．

所以的最大值為2．