Question

【題目】已知函數 .

（1）當時，求函數的極值；

（2）是否存在實數，使得當時，函數的最大值為？若存在，取實數的取值范圍，若不存在，請說明理由.

Answer 1

【答案】（1）見解析（2）.

【解析】試題分析：（1）先求導數，再求導函數零點，列表分析導函數符號變化規律，確定極值（2）先求函數導數，根據導函數零點情況分類討論，根據函數取最大值情況研究實數的取值范圍：當時，函數先增后減，最大值為；當時，再根據兩根大小進行討論，結合函數圖像確定滿足題意的限制條件，解出實數的取值范圍

試題解析：（1）當時， ，則，

化簡得，所以函數在上單調遞增，在上單調遞減，

且，

所以函數在處取到極小值為，在處取得極大值.

（2）由題意，

①當時，函數在上單調遞增，在上單調遞減，此時，不存在實數，使得當時，函數的最大值為，

②當時，令有或，

（1）當時，函數在上單調遞增，顯然符合題意.

（2）當即時，函數在和上單調遞增，

在上單調遞減，

此時由題意，只需，解得，又，

所以此時實數的取值范圍是.

（3）當即時，函數在和上單調遞增，

在上單調遞減，要存在實數，使得當時，函數的最大值為，

則，代入化簡得，

，因為恒成立，

故恒有，所以時，所以恒成立，

綜上，實數的取值范圍是.