Question

【題目】已知等比數(shù)列的公比，前n項和為.若，且是與的等差中項.

（1）求；

（2）數(shù)列滿足，，求數(shù)列的前2019項和；

（3）設，問數(shù)列中是否存在三項，它們可以構成等差數(shù)列？若存在，請求出一組適合條件的項；若不存在，請說明理由.

Answer 1

【答案】（1）；（2）；（3）不存在，理由見解析

【解析】

（1）結合等差中項的性質，將已知條件轉化為的形式，由此求得，進而求得.

（2）利用分組求和法求得數(shù)列的前項和.

（3）存在，且，使，，成等差數(shù)列，根據等差中項的性質列方程，化簡后推出矛盾，由此判斷出不存在符合條件的項.

（1）由，得①.

再由是，的等差中項，得，

即②.

由①②，得，

即，亦即，

解得或，又，故.

代入①，得，

所以，

即；

（2）

（3）設存在，且，使，，成等差數(shù)列，

∴

即

∴

∴（*）

因為且

∴、為偶數(shù)

為奇數(shù)，（*）式產生矛盾.所以這樣的三項不存在.