Question

【題目】已知拋物線上一點(diǎn)到其焦點(diǎn)的距離為，以為圓心且與拋物線準(zhǔn)線相切的圓恰好過原點(diǎn).點(diǎn)是與軸的交點(diǎn)， 兩點(diǎn)在拋物線上且直線過點(diǎn)，過點(diǎn)及的直線交拋物線于點(diǎn).

（1）求拋物線的方程；

（2）求證：直線過一定點(diǎn)，并求出該點(diǎn)坐標(biāo).

Answer 1

【答案】(1) ；(2)直線過定點(diǎn)，證明見解析.

【解析】試題分析：

(1)由題意可得，則為等腰三角形.過作軸于，則，據(jù)此可得拋物線的方程為.

(2)設(shè)的方程為，聯(lián)立直線方程與拋物線方程可得.結(jié)合韋達(dá)定理有.直線的方程為.可得，則直線過定點(diǎn).

試題解析：

（1）∵上一點(diǎn)到其焦點(diǎn)的距離為，∴，

∵以為圓心且與拋物線準(zhǔn)線相切的圓恰好過原點(diǎn)，∴，即為等腰三角形.

過作軸于，則，∴得，

∴拋物線的方程為.

（2）證明：設(shè)的方程為，代入拋物線的方程，可得.

設(shè)， ， ，則，

由，

直線的方程為，∴，

可得，∴，

∴.①

直線的方程為.

可得，②

由①②可得， ，∴直線過定點(diǎn).