Question

如圖，在直三棱柱ABC-A₁B₁C₁中，AB=AC，點D為BC中點，點E在線段B₁C₁上．
（1）求證：平面ADC₁⊥平面BCC₁B₁；
（2）若A₁E∥平面ADC₁，求證：E為線段B₁C₁的中點．

Answer 1

考點：平面與平面垂直的判定,直線與平面平行的性質

專題：證明題,空間位置關系與距離

分析：（1）要證平面ADC₁⊥平面BCC₁B₁，只需證平面ADC₁內的直線AD⊥平面BCC₁B₁，即證AD垂直平面BCC₁B₁內的兩條相交直線CC₁、BC即可；
（2）設點E′是B₁C₁的中點．通過（1）AD⊥BC，D為BC邊上的中點，連接DE′，則四邊形B₁BDE′為平行四邊形，可證四邊形A₁ADE為平行四邊形，從而A₁E′∥AD，又A₁E′?平面ADC₁，AD?平面ADC₁，根據線面平行的判定定理可知A₁E′∥平面ADC₁，E與E′重合，即可得出結論．

解答： 證明：（1）∵直三棱柱ABC-A₁B₁C₁中，CC₁⊥平面ABC，
而AD?平面ABC，∴CC₁⊥AD；
又AB=AC，D為BC中點，∴AD⊥BC，
又BC∩CC₁=C，BC?平面BCC₁B₁，CC₁?平面BCC₁B₁，
∴AD⊥平面BCC₁B₁，
∵AD?平面ADC₁，
∴平面ADC₁⊥平面BCC₁B₁．
（2）設點E′是B₁C₁的中點
由（1）得AD⊥BC，
∵在△ABC中，AB=AC，
∴D為BC邊上的中點，
連接DE′，∵點E′是B₁C₁的中點，
∴在直三棱柱ABC-A₁B₁C₁中，四邊形B₁BDE′為平行四邊形，
∴B₁B∥E′D，B₁B=E′D，
又B₁B∥A₁A，B₁B=A₁A，
∴E′D∥A₁A，E′D=A₁A，
∴四邊形A₁ADE′為平行四邊形．
∴A₁E′∥AD，又A₁E′?平面ADC₁，AD?平面ADC₁，
∴A₁E′∥平面ADC₁．
∵A₁E∥平面ADC₁，
∴E與E′重合，
∴E為線段B₁C₁的中點．

點評：本題考查了空間中的平面與平面垂直以及直線與平面平行的問題，應熟練地掌握空間中的平行與垂直關系，來解答此類題目．