Question

已知數列{a_n}滿足a₁=3¹²，且3a_n+1=a_n（n∈N^*，n≥1）
（Ⅰ）求數列{a_n}的通項公式；
（Ⅱ）記數列b_n=|log₃a_n|，且數列{b_n}的前n項和為T_n，求T₃₀；
（Ⅲ）在（Ⅱ）的前提下，問從第幾項開始數列{b_n}中的連續20項之和等于102？

Answer 1

考點：數列的求和

專題：等差數列與等比數列

分析：（Ⅰ）由已知條件求出q=

1

3

，由此能求出數列{a_n}的通項公式．
（Ⅱ）由an=313-n，知b_n=|13-n|，由此能求出T₃₀的值．
（Ⅲ）b_n=|13-n|，記數列{b_n}從第k項開始的連續20項和為T_k=b_k+b_k+1+…+b_k+19，由此能求出結果．

解答： （本小題14分）
解：（Ⅰ）∵數列{a_n}滿足a₁=3¹²，且3a_n+1=a_n，∴q=

1

3

，
∴an=312×(

1

3

)n-1=3^13-n．…（4分）
（Ⅱ）∵an=313-n，
∴b_n=|13-n|，
∴T₃₀=12+11+…+1+0+1+…+17
=

12

2

(1+12)+

17

2

(1+17)=231．…（8分）
（Ⅲ）b_n=|13-n|，
記數列{b_n}從第k項開始的連續20項和
為T_k=b_k+b_k+1+…+b_k+19，
若k≥13，則T_k≥0+1+2+…+19=190＞102，…（10分）
∴k＜13，
∴T_k=b_k+b_k+1+…+b₁₂+b₁₃+b₁₄+…+b_k+19，
∴T_k=（13-k）+（12-k）+…+1+0+1+…+（k+6）

= 1 2 [(13-k)+1](13-k)+ 1 2 [1+(k+6)](k+6) =k2-7k+112

∴k²-7k+112=102，解得k=2或k=5．
∴從第2項或第5項開始數列{b_n}中的連續20項之和等于102．…（14分）

點評：本題考查數列的通項公式的求法，考查數列的前n項和的求法及其應用，解題時要認真審題，注意分類討論思想的合理運用．