Question

（1）求函數(shù)f（x）=2x（5-3x），x∈（0，

5

3

）的最大值．
（2）已知x＞0，y＞0，且x+2y=1，求

1

x

+

1

y

的最小值．

Answer 1

考點：基本不等式

專題：不等式的解法及應(yīng)用

分析：（1）f（x）=2x•（5-3x）=

2

3

×3x（5-3x），根據(jù)基本不等式的性質(zhì)，即可求出，注意等號成立的條件，
（2）靈活利用1=2x+y，化簡

1

x

+

1

y

得，再根據(jù)基本不等式的性質(zhì)，即可求出，注意等號成立的條件．

解答： 解：（1）∵x∈（0，

5

3

），
∴5-3x＞0．
∴f（x）=2x•（5-3x）=

2

3

×3x（5-3x）≤

2

3

(

3x+5-3x

2

)2=

25

6

當且僅當3x=5-3x，即x=

5

6

時等號成立．
故f（x）的最大值為

4

6

．
（2）解：因為x＞0，y＞0，且x+2y=1，
所以

1

x

+

1

y

=

x+2y

x

+

x+2y

y

=3+

2y

x

+

x

y

≥3+

2y x • x y

=3+2

2

當且僅當且x+2y=1，即x=

2

-1，y=1-

2

2

時取得等號．
所以

1

x

+

1

y

的最小值為3+2

2

點評：本題主要考查了基本不等式的應(yīng)用，關(guān)鍵是靈活構(gòu)造符合基本不等式的形式，屬于基礎(chǔ)題．