Question

已知圓C的圓心在坐標原點，且與直線l₁：x-y-2

2

=0相切；
（1）求圓C的標準方程；
（2）過點（1，3）的直線與圓C交于A、B兩點，且|AB|=2

3

，求此直線方程；
（3）若與直線l₁垂直的直線l與圓C交于不同的B、D兩點，且滿足∠BOD為鈍角，求直線l縱截距的取值范圍？

Answer 1

考點：圓的標準方程,直線與圓的位置關系

專題：直線與圓

分析：（1）由圓心（0，0）到直線l₁：x-y-2

2

=0距離為圓的半徑，由已知條件能求出圓C的標準方程．
（2）圓心坐標為C（0，0），半徑r=2，設直線方程y=k（x-1）+3，由圓心到直線的距離能求出滿足條件的直線方程．
（3）設直線方程為y=-x+b，聯立

y=-x+b x2+y2=4

，得2x²-2bx+b²-4=0，由此能求出直線l縱截距的取值范圍．

解答： 解：（1）根據題意：圓心（0，0）到直線l₁：x-y-2

2

=0距離為圓的半徑，
∴r=

2 2

2

=2，
∴圓C的標準方程為x²+y²=4．
（2）圓心坐標為C（0，0），半徑r=2，
∵|AB|=2

3

，∴圓心到直線l的距離d=

4-3

=1，
當直線斜率存在，設為k，則直線方程y=k（x-1）+3，
即kx-y+3-k=0，
圓心到直線的距離為d=

|3-k|

1+k2

=1，
解得k=

4

3

，
∴直線方程為y=

4

3

(x-1)+3，即4x-3y+5=0．
綜上，滿足條件的直線方程為4x-3y+5=0或x=1．
（3）設直線方程為y=-x+b，
聯立

y=-x+b x2+y2=4

，得2x²-2bx+b²-4=0，
設直線l與圓的交點B（x₁，y₁），D（x₂，y₂），
由△=（-2b）²-8（b²-4）＞0，得b²＜8，
∴x1+x2=b，x1x2=

b2-4

2

，①
∵∠BOD為鈍角，∴

OB

•

OD

＜0，即滿足x₁x₂+y₁y₂＜0，
且

OB

與

OD

不反向共線，
又y₁=-x₁+b，y₂=-x₂+b，
∴x1x2+y1y2=2x1x2-b(x1+x2)+b2＜0，②
由①②得b²＜4，滿足△＞0，即-2＜b＜2，
當

OB

與

OD

反向共線時，直線y=-x+b過原點，此時b=0，不滿足題意，
∴直線l縱截距的取值范圍是-2＜b＜2，且b≠0．

點評：本題考查圓的方程的求法，考查直線方程的求法，考查直線的截距的取值范圍的求法，解題時要認真審題，注意點到直線距離的合理運用．