Question

【題目】橢圓C： =1（a＞b＞0），作直線l交橢圓于P，Q兩點，M為線段PQ的中點，O為坐標原點，設直線l的斜率為k1 ， 直線OM的斜率為k2 ， k1k2=﹣ ．
（1）求橢圓C的離心率；
（2）設直線l與x軸交于點D（﹣ ，0），且滿足 =2 ，當△OPQ的面積最大時，求橢圓C的方程．

Answer 1

【答案】
（1）解：設P（x1，y1），Q（x2，y2），

代入橢圓C的方程有： ，

兩式相減： ，

即 ，

直線l的斜率為k1，直線OM的斜率為k2，

可得k1= ，k2= ，

即有 ，

即b2= a2，c2=a2﹣b2= a2，

可得 ；

（2）解：由（1）知 ，得a2=3c2，b2=2c2，

可設橢圓C的方程為：2x2+3y2=6c2，

設直線l的方程為： ，

代入橢圓C的方程有 ，

因為直線l與橢圓C相交，所以△=48m2﹣4（2m2+3）（6﹣6c2）＞0，

由韋達定理： ， ．

又 ，所以y1=﹣2y2，代入上述兩式有： ，

= ，

當且僅當 時，等號成立，此時c2=5，代入△，有△＞0成立，

所以所求橢圓C的方程為：

【解析】（1）設P（x1 ， y1），Q（x2 ， y2），代入橢圓方程，作差，結合直線的斜率公式和中點坐標公式，即可得到b2= a2 ， 運用離心率公式可得所求；（2）橢圓C的方程為：2x2+3y2=6c2 ， 設直線l的方程為： ，代入橢圓方程，運用韋達定理，再由向量共線的坐標表示，求得三角形的面積，化簡運用基本不等式可得最大值，即可得到所求橢圓方程．