Question

【題目】為了考察冰川的融化狀況，一支科考隊(duì)在某冰川山上相距8km的A、B兩點(diǎn)各建一個考察基地，視冰川面為平面形，以過A、B兩點(diǎn)的直線為x軸，線段AB的垂直平分線為y軸建立平面直角坐標(biāo)系（圖4）．考察范圍到A、B兩點(diǎn)的距離之和不超過10km的區(qū)域．

（I）求考察區(qū)域邊界曲線的方程：

（II）如圖4所示，設(shè)線段是冰川的部分邊界線（不考慮其他邊界），當(dāng)冰川融化時，邊界線沿與其垂直的方向朝考察區(qū)域平行移動，第一年移動0.2km，以后每年移動的距離為前一年的2倍．問：經(jīng)過多長時間，點(diǎn)A恰好在冰川邊界線上？

Answer 1

【答案】（I）；（II）5年

【解析】

解：（I）設(shè)邊界曲線上點(diǎn)的坐標(biāo)為，則由知，

點(diǎn)在以為焦點(diǎn)，長軸長為的橢圓上，此時短半軸長為，

所以考察區(qū)域邊界曲線(如圖)的方程為為.

（II）易知過點(diǎn)的直線方程為，因此點(diǎn)到直線的距離為

設(shè)經(jīng)過年，點(diǎn)恰好在冰川邊界線上，則利用等比數(shù)列求和公式可得

，

解得，即經(jīng)過5年，點(diǎn)恰好在冰川邊界線上.