Question

【題目】已知函數.

（1）求在點處的切線方程；

（2）若函數與在內恰有一個交點，求實數的取值范圍；

（3）令，如果圖象與軸交于，中點為，求證:.

Answer 1

【答案】（1）（2）（3）見解析

【解析】

（1）利用導數的幾何意義，求出斜率和切點，然后再根據點斜式即可求出結果；

（2）利用導數求出函數在的單調性，根據函數的單調性做出草圖，即可求出實數的取值范圍；

（3）由點在圖象上，把點的坐標代入的解析式得方程組，兩式相減得關于的方程，假設成立，求導，得關于的方程，由中點坐標公式轉化關于的方程，兩方程消去，得關于的方程，整理此方程，分子分母同除以，整理方程，右邊為，設，左邊得關于的函數，求此函數的導數，得函數的單調性，得函數值恒小于，所以方程不成立，所以假設不成立，所以．

（1），

則，且切點坐標為；

所以所求切線方程為：

（2），所以在為增函數，在為減函數，

， ；

所以

（3），， 假設，則有

①-②得： ∴，

由④得， ∴；即；

即⑤； 令，，

則在0<t<1上增函數..∴⑤式不成立，故與假設矛盾.∴.