Question

【題目】已知橢圓的左焦點為,右頂點為,點的坐標為的面積為，過點的動直線被橢圓所截得的線段長度的最小值為 .

(I)求橢圓的方程;

(Ⅱ) 是橢圓上異于頂點的一點,且直線是線段延長線上一點,且，的半徑為是的兩條切線,切點分別為,求的最大值,并求出取得最大值時直線的斜率 .

Answer 1

【答案】(Ⅰ) （Ⅱ）的最大值為，取得最大值時直線的斜率為.

【解析】分析：（Ⅰ）由已知，可得，解得設橢圓方程：，

當直線斜率不存在時，線段長為；

當直線斜率存在時，設方程：，由弦長公式可得的長小于，

易知當時，的最小值為，從而，由此得到橢圓的方程；（

Ⅱ）由（Ⅰ）知，，而的半徑，

又直線的方程為，可得 ，

由題意可知，要求的最大值，即求的最小值，由題意可知，轉化為關于的函數，換元后利用配方法可得

的最大值,以及取得最大值時直線的斜率 .

詳解：

（Ⅰ）由已知，可得.又由，可得，解得

設橢圓方程：，

當直線斜率不存在時，線段長為；

當直線斜率存在時，設方程：，

由，得，從而

，

易知當時，的最小值為，從而，因此，橢圓的方程為：.

（Ⅱ）由第（Ⅰ）問知，，而的半徑，

又直線的方程為，由，得，

因此，

由題意可知，要求的最大值，即求的最小值

而

，令，則，

因此, ，

當且僅當，即時等號成立，此時，

所以，因此，所以的最大值為.

綜上所述，的最大值為，取得最大值時直線的斜率為.