Question

【題目】（題文）如圖所示的某種容器的體積為，它是由圓錐和圓柱兩部分連接而成，圓柱與圓錐的底面半徑都為．圓錐的高為，母線與底面所成的角為；圓柱的高為，已知圓柱底面的造價為元，圓柱側面造價為元，圓錐側面造價為元．

（1）將圓柱的高表示為底面半徑的函數，并求出定義域；

（2）當容器造價最低時，圓柱的底面半徑為多少？

Answer 1

【答案】（1）；（2）.

【解析】

（1）由題意，根據圓錐的體積公式和圓柱的體積公式，即可得到關于的函數關系式；

（2）根據圓錐與圓柱的側面積公式得到容器總造價為，令，利用導數求得函數的單調性，即可得到函數最小值，得到解答.

（1）解：因為圓錐的母線與底面所成的角為，所以，

圓錐的體積為，圓柱的體積為．

因為，所以，

所以．

因為，所以．因此．

所以，定義域為．

（2）圓錐的側面積，

圓柱的側面積，底面積．

容器總造價為

．

令，則．令，得．

當時，，在上為單調減函數；

當時，，在上為單調增函數．

因此，當且僅當時，有最小值，y有最小值90元．

所以，總造價最低時，圓柱底面的半徑為3cm．