Question

【題目】已知函數f（x）=（ax2+bx+c）ex在[0，1]上單調遞減且滿足f（0）=1，f（1）=0．
（1）求a取值范圍；
（2）設g（x）=f（x）﹣f′（x），求g（x）在[0，1]上的最大值和最小值．

Answer 1

【答案】
（1）解：由f（0）=1，f（1）=0得c=1，a+b=﹣1，則f（x）=[ax2﹣（a+1）x+1]ex，

∴f′（x）=[ax2+（a﹣1）x﹣a]ex，

由題意函數f（x）=（ax2+bx+c）ex在[0，1]上單調遞減可得對于任意的x∈（0，1），都有f′（x）≤0

當a＞0時，因為二次函數y=ax2+（a﹣1）x﹣a圖象開口向上，而f′（0）=﹣a＜0，所以只需要f′（1）=（a﹣1）e≤0，即a≤1，故有0＜a≤1；

當a=1時，對于任意的x∈（0，1），都有f′（x）=（x2﹣1）ex＜0，函數符合條件；

當a=0時，對于任意的x∈（0，1），都有f′（x）=﹣xex＜0，函數符合條件；

當a＜0時，因f′（0）=﹣a＞0函數不符合條件；

綜上知，a的取值范圍是0≤a≤1

（2）解：因為 g（x）=f（x）﹣f′（x）=（ax2﹣（a+1）x+1）ex﹣[ax2+（a﹣1）x﹣a]ex=（﹣2ax+a+1）ex，g′（x）=（﹣2ax﹣a+1）ex，

（i）當a=0時，g′（x）=ex＞0，g（x）在[0，1]上的最小值是g（0）=1，最大值是g（1）=e

（ii）當a=1時，對于任意x∈（0，1）有g′（x）=﹣2xex＜0，則有g（x）在[0，1]上的最小值是g（1）=0，最大值是g（0）=2；

（iii）當0＜a＜1時，由g′（x）=0得x= ＞0，

①若 ，即0＜a≤ 時，g（x）在[0，1]上是增函數，所以g（x）在[0，1]上最大值是g（1）=（1﹣a）e，最小值是g（0）=1+a；

②若 ，即 ＜a＜1時，g（x）在x= 取得最大值g（ ）=2a ，在x=0或x=1時取到最小值，

而g（0）=1+a，g（1）=（1﹣a）e，

則令g（0）=1+a≤g（1）=（1﹣a）e可得 ＜a≤ ；令g（0）=1+a≥g（1）=（1﹣a）e可得 ≤a＜1

綜上，當 ＜a≤ 時，g（x）在x=0取到最小值g（0）=1+a，

當 ≤a＜1時，g（x）在x=1取到最小值g（1）=（1﹣a）e

【解析】（1）由題意，函數f（x）=（ax2+bx+c）ex在[0，1]上單調遞減且滿足f（0）=1，f（1）=0，可求出函數的導數，將函數在[0，1]上單調遞減轉化為導數在[0，1]上的函數值恒小于等于0，再結合f（0）=1，f（1）=0這兩個方程即可求得a取值范圍；（2）由題設條件，先給出g（x）=f（x）﹣f′（x）的解析式，求出導函數，g′（x）=（﹣2ax﹣a+1）ex ， 由于參數a的影響，函數在[0，1]上的單調性不同，結合（1）的結論及g′（x）可得．（i）當a=0時；（ii）當a=1時；（iii）當0＜a＜1時，分三類對函數的單調性進行討論，確定并求出函數的最值
【考點精析】利用利用導數研究函數的單調性和函數的最大(小)值與導數對題目進行判斷即可得到答案，需要熟知一般的,函數的單調性與其導數的正負有如下關系： 在某個區間內，(1)如果，那么函數在這個區間單調遞增；(2)如果，那么函數在這個區間單調遞減；求函數在上的最大值與最小值的步驟：（1）求函數在內的極值；（2）將函數的各極值與端點處的函數值，比較，其中最大的是一個最大值，最小的是最小值．