Question

【題目】已知函數(shù).

(1)若函數(shù)在上是減函數(shù),求實數(shù)的取值范圍;

(2)當時,分別求函數(shù)的最小值和的最大值,并證明當時, 成立;

(3)令,當時,判斷函數(shù)有幾個不同的零點并證明.

Answer 1

【答案】（1）；（2）見解析；（3）1個

【解析】試題分析：（1）由題意得在上恒成立,根據(jù)恒成立問題的解答方法求解;

（2）分別求出函數(shù)和的導數(shù),研究出函數(shù)的單調(diào)性即可求出最值;

根據(jù)題意得,可判斷出,即在上單調(diào)遞減,得出函數(shù)至多有一個零點,再利用零點存在性定理進行判斷.

試題解析：

(1)由題意得在上恒成立,

令,有即,

得,所以.

(2)由題意可得

令,則,

所以在上單調(diào)遞減,在上單調(diào)遞增,

所以當時, 取最小值3， ,令,得,

當在上單調(diào)遞增,所以,

因為當時, ,

所以當時, .

(3)因為,

所以,

其定義域為,,

因為,所以,所以在上單調(diào)遞減,

因為,所以,所以，又,所以函數(shù)只有1個零點.