Question

【題目】已知數列{bn}滿足bn=3bn﹣1+2（n≥2），b1=1．數列{an}的前n項和為Sn ， 滿足Sn=4an+2
（1）求證：{bn+1}是等比數列并求出數列{bn}的通項公式；
（2）求數列{an}的通項公式和前n項和公式．

Answer 1

【答案】
（1）證明：∵數列{bn}滿足bn=3bn﹣1+2（n≥2），b1=1．

∴bn+1=3（bn﹣1+1），∴數列{bn+1}是等比數列，首項為2，公比為3，

∴bn+1=2×3n﹣1，即bn=2×3n﹣1﹣1

（2）解：∵Sn=4an+2，∴n=1時，a1=4a1+2，解得a1=- ．

n≥2時，an=Sn﹣Sn﹣1=4an+2﹣（4an﹣1+2），化為：an= an﹣1，

∴數列{an}是等比數列，首項為﹣ ，公比為 ．

∴an=﹣ × ．

Sn=﹣4× × +2=﹣ +2

【解析】（1）數列{bn}滿足bn=3bn﹣1+2（n≥2），b1=1．變形為：bn+1=3（bn﹣1+1），利用等比數列的定義通項公式即可得出．（2）利用遞推關系可得數列{an}是等比數列，利用等比數列的通項公式及其求和公式即可得出．
【考點精析】通過靈活運用數列的前n項和和數列的通項公式，掌握數列{an}的前n項和sn與通項an的關系；如果數列an的第n項與n之間的關系可以用一個公式表示，那么這個公式就叫這個數列的通項公式即可以解答此題．