Question

【題目】已知△ABC中，BC邊上的高所在的直線方程為x﹣2y+1=0，∠A的角平分線所在的直線方程為y=0，點C的坐標為（1，2）．
（1）求點A和點B的坐標；
（2）又過點C作直線l與x軸、y軸的正半軸分別交于點M，N，求△MON的面積最小值及此時直線l的方程．

Answer 1

【答案】
（1）解：因為點A在BC邊上的高x﹣2y+1=0上，又在∠A的角平分線y=0上，所以解方程組 得A（﹣1，0）．

∵BC邊上的高所在的直線方程為x﹣2y+1=0，

∴kBC=﹣2，

∵點C的坐標為（1，2），所以直線BC的方程為2x+y﹣4=0，

∵kAC=﹣1，∴kAB=﹣kAC=1，所以直線AB的方程為x+y+1=0，

解方程組 得B（5，﹣6），

故點A和點B的坐標分別為（﹣1，0），（5，﹣6）．

（2）解：依題意直線的斜率存在，設直線l的方程為：y﹣2=k（x﹣1）（k＜0），則 ，所以 ，

當且僅當k=﹣2時取等號，所以（S△MON）min=4，此時直線l的方程是2x+y﹣4=0．

【解析】（1）列方程組 求出A點坐標，根據兩直線垂直的條件求出BC、AB所在的直線方程，然后解方程組 得B的坐標；（2）若直線分別與x軸、y軸的負半軸交于A，B兩點，說明直線的斜率小于0，設出斜率根據直線過的C點，寫出直線方程，求出△MON面積的表達式，利用基本不等式求出面積的最小值，即可得到面積最小值的直線的方程．