Question

【題目】已知函數，其中.

（1）設，討論的單調性；

（2）若函數在內存在零點，求的范圍.

Answer 1

【答案】（1）見解析；（2）的取值范圍是.

【解析】試題分析：（1）求導可以得到，分三種情況討論導數的符號.（2）計算可以得到，其導數為，我們需要討論的符號，故需再構建新函數，其導數為，結合原函數的形式和的形式，我們發現當時恒成立；當時， 在上有極小值點 ，結合可知 在上有零點；當時， 恒成立，結合可知， 在上也是恒成立的，故而在上遞增恒成立.

解析：（1）定義域

故 則

若，則 在 上單調遞減；

若，則 .

（i） 當 時，則 ，因此在 上恒有 ，即 在 上單調遞減；

（ii）當時， ，因而在上有，在上有 ；因此 在 上單調遞減，在單調遞增.

（2）設 ,

，設，

則 .

先證明一個命題：當時， .令， ，故在上是減函數，從而當時， ，故命題成立.

若 ,由 可知， .，故 ，對任意都成立，故 在上無零點，因此.

（ii）當，考察函數 ，由于 在 上必存在零點.設在 的第一個零點為，則當時， ，故 在 上為減函數，又 ，

所以當 時， ，從而 在 上單調遞減，故在 上恒有 。即 ，注意到 ，因此，令時，則有，由零點存在定理可知函數 在 上有零點，符合題意.

（iii）若，則由 可知， 恒成立，從而 在 上單調遞增，也即 在上單調遞增，因此，即在 上單調遞增，從而恒成立，故方程 在 上無解.

綜上可知， 的取值范圍是 .