Question

【題目】已知數列的前項和為，且，.

（1）若數列是等差數列，且，求實數的值；

（2）若數列滿足，且，求證：數列是等差數列；

（3）設數列是等比數列，試探究當正實數滿足什么條件時，數列具有如下性質：對于任意的，都存在使得，寫出你的探求過程，并求出滿足條件的正實數的集合.

Answer 1

【答案】（1）；（2）證明見解析；（3）

【解析】

（1）首先根據，，求出，再計算即可.

（2）首先由得到，由且，得到數列的通項公式，即可證明數列是等差數列.

（3）有題意得：，然后對分類討論，可知當，，時，數列不具有性質.當時，對任意，，都有，即當時，數列具有性質.

（1）設等差數列的公差為，由，，得，

解得，則，

所以.

（2）因為，

所以，

解得，

因為，，，

當為奇數時，.

當為偶數時，.

所以對任意，都有.

當時，，即數列是等差數列.

（3）解：由題意，是等比數列，.

①當時，，

所以對任意，都有，

因此數列不具有性質.

②當時，，.

所以對任意，都有，

因此數列不具有性質.

③當時，.

，

.

取（表示不小于的最小整數），

則，.

所以對于任意，.

即對于任意，都不在區間內，

所以數列不具有性質.

④當時，，且，

即對任意，，都有，

所以當時，數列具有性質.

綜上，使得數列具有性質的正實數的集合為.