Question

設一動直線l與曲線C：（x-1）²+（y-1）²=1相切，此直線和x、y軸的交點分別為A、B，且OA=a，OB=b（a＞2，b＞2）
（1）a、b之間滿足什么關系？
（2）求△OAB的面積的最小值．

Answer 1

考點：直線與圓的位置關系

專題：直線與圓

分析：（1）由題意可得直線l的方程為

x

a

+

y

b

=1，即 bx+ay-ab=0．再根據圓心C（1，1）到直線l的距離等于半徑1，化簡可得a、b之間滿足的關系．
（2）由以上可得△OAB的面積為S=

1

2

ab，再由條件利用基本不等式求得

ab

≥2+

2

，即ab≥6+4

2

，可得S=

1

2

ab的最小值．

解答： 解：（1）由題意可得，動直線l的方程為

x

a

+

y

b

=1，即 bx+ay-ab=0．
再根據圓心C（1，1）到直線l的距離等于半徑1，可得

|b+a-ab|

a2+b2

=1，
化簡可得 2a+2b=ab+2．
（2）由以上可得△OAB的面積為S=

1

2

ab，
∵a＞2，b＞2，
∴2a+2b=ab+2≥2

4ab

=4

ab

，
解得

ab

≥2+

2

，或

ab

≤2-

2

 （舍去），
∴ab≥6+4

2

，∴S=

1

2

ab≥3+2

2

，
即S=

1

2

ab的最小值為3+2

2

．

點評：本題主要考查用截距式求直線的方程，直線和圓相切的性質，基本不等式的應用，屬于基礎題．