Question

已知

a

=（cosnα，sinnα），

b

=（cosnβ，sinnβ），a_n=

a

•

b

．
（1）若n=1，且

a

⊥

b

，求證：|

a

-

b

|=

2

；
（2）若α-β=

π

2

，求數列{a_n}的前2n項的和．

Answer 1

考點：平面向量數量積的運算,數列的求和

專題：平面向量及應用

分析：（1）根據三角函數的角的關系，sin²α+cos²α=1，得到|

a

|=|

b

|=1，再根據垂直關系得到

a

•

b

=0，問題得以解決．
（2）根據三角函數中的運算得a_n=cosn（α-β），再分類討論即可．

解答： （1）證明：∵

a

=（cosnα，sinnα），

b

=（cosnβ，sinnβ），
∴當n=1時，

a

=（cosα，sinα），

b

=（cosβ，sinβ），
∴|

a

|=|

b

|=1，
∵

a

⊥

b

，
∴

a

•

b

=0
∴|

a

-

b

|²=|

a

|2+|

b

|2-2

a

•

b

=2，
∴|

a

-

b

|=

2

；
（2）∵

a

=（cosnα，sinnα），

b

=（cosnβ，sinnβ），a_n=

a

•

b

．
∴a_n=

a

•

b

=cosnαcosnβ+sinnαsinnβ=cosn（α-β），
∵α-β=

π

2

，
∴a_n=cosn（α-β）=cos（n•

π

2

）
當n為奇數時，a_n=0，
當n為偶數時，是4的倍數時a_n=1，是2的倍數不是4的倍數時a_n=-1
則數列{a_n}為0，-1，0，1，0，-1，0，1，…，
故數列{a_n}的前2n項的和為S_2n=

-1，n為奇數 0，n為偶數

．

點評：本題主要考查了平面向量的數量積的運算，向量的垂直，向量的模的計算，屬于中檔題．