Question

在三棱錐A-BCD中，AB=BC=4，AD=BD=CD=2

2

，在底面BCD內(nèi)作CE⊥CD，且CE=

2

．
（1）求證：CE∥平面ABD；
（2）如果二面角A-BD-C的大小為90°，求二面角C-AE-D的大小．

Answer 1

考點(diǎn)：與二面角有關(guān)的立體幾何綜合題,直線與平面平行的判定

專題：空間位置關(guān)系與距離,空間角

分析：（1）由勾股定理得BD⊥CD，又CE⊥CD，從而CE∥BD，由此以證明CE∥平面ABD．
（2）以D為原點(diǎn)，DB、DC、DA分別為x，y，z軸，建立空間直角坐標(biāo)系，利用向量法能求出二面角C-AE-D的大小．

解答： （1）證明：∵BD=CD=2

2

，BC=4，
∴BD²+CD²=BC²，∴BD⊥CD，
∵CE⊥CD，∴CE∥BD，
又CE不包含于平面ABD，BD?平面ABD，
∴CE∥平面ABD．
（2）解：∵二面角A-BD-C的大小為90°，AD⊥BD，
∴AD⊥平面BDC，又由（1）知BD⊥CD，
以D為原點(diǎn)，DB、DC、DA分別為x，y，z軸，
建立空間直角坐標(biāo)系，又CE⊥CD，
∴CE⊥面ACD，又CE?平面ACE，
∴平面ACE⊥平面ACD，設(shè)AC中點(diǎn)為F，
連結(jié)DF，則DF⊥AC，且DF=2，DF⊥ACE，
由（1）知BD=CD=AD=2

2

，
B（

2

，2

2

，0），C（0，2

2

，0），
A（0，0，2

2

），F(xiàn)（0，

2

，

2

），
∴平面ACE的法向量

DF

=(0，

2

，

2

)，
同理，取ADE的法向量

n

=(2，1，0)，
cos＜

n

，

DF

＞=

2

2 5

=

10

10

．
∴二面角C-AE-D的大小為arccos

10

10

．

點(diǎn)評：本題考查直線與平面平行的證明，考查二面角的大小的求法，解題時(shí)要認(rèn)真審題，注意向量法的合理運(yùn)用．