Question

【題目】坐標系與參數方程：在平面直角坐標系中，以原點為極點，軸的非負半軸為極軸建立極坐標系，已知點的極坐標為，直線的極坐標方程為，且點在直線上

（Ⅰ）求的值和直線的直角坐標方程及的參數方程；

（Ⅱ）已知曲線的參數方程為，（為參數），直線與交于兩點，求的值

Answer 1

【答案】（Ⅰ），的直角坐標方程為，的參數方程為：（Ⅱ）

【解析】

（Ⅰ）將點的極坐標方程代入直線的極坐標方程可求出的值，然后將直線方程化為普通方程，確定直線的傾斜角，即可將直線的方程表示為參數方程的形式；

（Ⅱ）將曲線的參數方程表示普通方程，然后將（Ⅰ）中直線的參數方程與曲線的普通方程聯立，得到關于的一元二次方程，并列出韋達定理，根據的幾何意義計算出

和，于是可得出

的值。

解：（Ⅰ）因為點，所以；

由得

于是的直角坐標方程為；

的參數方程為： （t為參數）

（Ⅱ）由： ，

將的參數方程代入得

，設該方程的兩根為，由直線的參數的幾何意義及曲線知，

，

所以。