Question

如圖，在直角梯形ABCP中，,D是AP的中點，E,G分別為PC,CB的中點，將三角形PCD沿CD折起，使得PD垂直平面ABCD.（1）若F是PD的中點，求證：AP平面EFG;（2）當二面角G-EF-D的大小為時，求FG與平面PBC所成角的余弦值.

Answer 1

（1）詳見解析，（2）

試題分析：（1）證明線面平行，關鍵找線線平行.因為本題條件涉及中點較多，宜從中位線性質出發尋找.如取AD中點M，則有又所以平面=平面.本題也可從證面面平行出發，推出線面平行.（2）已知二面角平面角，求線面角，宜利用空間向量解決.先建立空間直角坐標系，設出各點的坐標，,,,,設,利用二面角G-EF-D的大小為求出，再利用空間向量數量積求線面角. 利用空間向量求角，關鍵是正確表示平面的法向量，明確向量夾角與二面角或線面角之間關系.
試題解析：(1)證明：是的中點時,////,//,//平面,
//平面,,平面//平面,平面,
//平面.                       (6分)
(2)建立如圖所示的坐標系,則有,,,,設,

,,平面的法向量,則有
,解得. .
平面的法向量,依題意,
,
.于是.
平面的法向量,,
,則有
,解得. .
與平面所成角為,則有,
故有.                        (12分)