Question

已知四棱錐的底面為直角梯形，，，底面，且，是的中點.
⑴求證：直線平面；
⑵⑵若直線與平面所成的角為，求二面角的余弦值.

Answer 1

⑴見解析;⑵1

試題分析：方法一:幾何法證明求角.
⑴要證直線平面,需要在平面內找到一條與平行的直線.顯然不容易找到;故考慮利用面面平行退出線面平行, 取的中點,構造平面,根據 ,∥可證.
⑵要求二面角,方法一:找到二面角的平面角,角的頂點在棱,角的兩邊在兩個半平面內中,并且角的兩邊與棱垂直.取取的中點,連接就是所求角.
方法二:建立空間直角坐標系,利用向量證明,求角.
試題解析：
⑴證明：取的中點，則，故平面;
又四邊形正方形，∴∥，故∥平面;
∴平面平面,
∴平面.
⑵由底面，得底面;
則與平面所成的角為;
∴, ∴和都是邊長為正三角形,
取的中點，則，且 .

∴為二面角的平面角;在中　，，
∴
∴二面角的余弦值
方法二：⑴設，因為，，，
∴以A為坐標原點如圖建立空間直角坐標系，取的中點，
則各點坐標為：，，，，，;
∴，，∴，∴，∴平面;
⑵由底面及，得與平面所成角的大小為;
∴,∴,，，;
取的中點，則因，∴;
則，且,∴為二面角的平面角;
∵;∴二面角的余弦值