Question

如下圖，在三棱錐中，底面，點為以為直徑的圓上任意一動點，且，點是的中點，且交于點.
（1）求證：面；
（2）當時，求二面角的余弦值.

Answer 1

（1）詳見解析；（2）.

試題分析：（1）由已知條件平面得到，再由已知條件得到，從而得到平面，進而得到，利用等腰三角形三線合一得到，結合直線與平面垂直的判定定理得到平面，于是得到，結合題中已知條件以及直線與平面垂直的判定定理得到平面；（2）以為坐標原點，為軸，為軸，建立空間直角坐標系，利用空間向量法求二面角 的余弦值.
（1）證明：底面，，又易知，
平面，，
又，是的中點，，
平面，，
又已知，
平面；
（2）如下圖以為坐標原點，為軸，為軸，建立空間直角坐標系，由于，

可設，則，，，，，
，，
設平面的一個法向量，
則，即，
可得，
由（1）可知為面的法向量，
易求
，
二面角的余弦值是.