Question

如圖，已知四棱錐的底面的菱形，，點是邊的中點，交于點，

（1）求證：；
（2）若的大小；
（3）在（2）的條件下，求異面直線與所成角的余弦值。

Answer 1

（1）（2）（3） 

試題分析：（1）因為平面，所以是 在平面 內的射影，要證 ，只要證，連結，由題設易知三角形為正三角形，而是其邊 上的中線，所以.
（2）由（1）知， ,而且 ，可以發現為二面角的平面角，再利用直角姑角形求其大小；
（3）取 中點 ，連結易證 ， 與 所成的角就是 與 的成的角；先利用勾股定理求出,再用余弦定理求解.
試題解析：解答一：（1）在菱形中，連接則是等邊三角形。
點是邊的中點

平面
是斜線在底面內的射影


（2）
菱形中,

又平面,是在平面內的射影

為二面角的平面角
在菱形中,，由（1）知，等邊三角形
點是邊的中點，與互相平分
點是的重心

又在等邊三角形中，



所以在中，

二面角的大小為.
(3)取中點，連結，
則
與所成角與所成角
連結
平面,、平面

在中,

在中,
在中,
由（2）可知，
設與所成的角為
則
所以異面直線、所成角的余弦值為

解法二：（1）同解法一；
（2）過點作平行線交于,以點為坐標原點,建立如圖的坐標系


設平面的一個法向量為
則,即
不妨設


二面角的大小為
（3）由已知，可得點

即異面直線所成角的余弦值為