Question

如圖，四棱柱中，底面.四邊形為梯形，,且.過三點的平面記為，與的交點為.
（1）證明：為的中點；
（2）求此四棱柱被平面所分成上下兩部分的體積之比；
（3）若，，梯形的面積為6，求平面與底面所成二面角大小.

Answer 1

（1）為的中點；（2）；（3）.

試題分析：（1）利用面面平行來證明線線平行∥，則出現相似三角形，于是根據三角形相似即可得出，即為的中點.（2）連接.設，梯形的高為，四棱柱被平面所分成上下兩部分的體積分別為和，，則.先表示出和，就可求出，從而.（3）可以有兩種方法進行求解.第一種方法，用常規法，作出二面角.在中，作，垂足為，連接.又且，所以平面，于是.所以為平面與底面所成二面角的平面角.第二種方法，建立空間直角坐標系，以為原點，分別為軸和軸正方向建立空間直角坐標系.設.因為，所以.從而，，所以，.設平面的法向量，再利用向量求出二面角.
（1）證：因為∥，∥,，
所以平面∥平面.從而平面與這兩個平面的交線相互平行，即∥.
故與的對應邊相互平行，于是.
所以，即為的中點.
（2）解：如圖，連接.設，梯形的高為，四棱柱被平面所分成上下兩部分的體積分別為和，，則.

，
，
所以，
又
所以，
故.
（3）解法1如第（20）題圖1，在中，作，垂足為，連接.又且，所以平面，于是.
所以為平面與底面所成二面角的平面角.
因為∥，，所以.
又因為梯形的面積為6，，所以.
于是.
故平面與底面所成二面角的大小為.
解法2如圖，以為原點，分別為軸和軸正方向建立空間直角坐標系.

設.因為，所以.
從而，，
所以，.
設平面的法向量，
由得，
所以.
又因為平面的法向量，
所以，
故平面與底面所成而面積的大小為.