Question

【題目】如圖，直三棱柱ABC﹣A′B′C′，∠BAC＝90°，AB＝AC＝λAA′，點M，N分別為A′B和B′C′的中點．

（1）證明：MN∥平面A′ACC′；

（2）若二面角A′﹣MN﹣C為直二面角，求λ的值．

Answer 1

【答案】（1）見解析（2）λ．

【解析】

（1）法一：連接AB′、AC′，根據M為AB′中點，N為B′C′的中點，在中可知MN∥AC′，又MN平面A′ACC′，所以MN∥平面A′ACC′；法二：取A′B′的中點P，連接MP、NP，根據兩條相交中位線易證明平面MPN∥平面A′ACC′，從而MN∥平面A′ACC′；

（2）以A為坐標原點，分別以直線AB、AC、AA′為x，y，z軸，建立直角坐標系，寫出點的坐標即可求解.

（1）證明：法一：連接AB′、AC′，

由已知∠BAC＝90°，AB＝AC，

三棱柱ABC﹣A′B′C′為直三棱柱，

所以M為AB′中點，

又因為N為B′C′的中點，

所以MN∥AC′，

又MN平面A′ACC′，平面，

因此MN∥平面A′ACC′；

法二：取A′B′的中點P，連接MP、NP，

M、N分別為A′B、B′C′的中點，

所以MP∥AA′，平面，平面，所以MP∥平面A′ACC′，

同理可得PN∥平面A′ACC′，

又MP∩NP＝P，因此平面MPN∥平面A′ACC′，

而MN平面MPN，因此MN∥平面A′ACC′．

（2）以A為坐標原點，分別以直線AB、AC、AA′為x，y，z軸，建立直角坐標系，如圖，

設AA′＝1，則AB＝AC＝λ，于是A（0，0，0），B（λ，0，0），C（0，λ，0），A′（0，0，1），B′（λ，0，1），C′（0，λ，1）．

所以M（），N（），

設（x1，y1，z1）是平面A′MN的法向量，，，

由，得，可取，

設（x2，y2，z2）是平面MNC的法向量，，

由，得，可取，

因為二面角A'﹣MN﹣C為直二面角，

所以，即﹣3+（﹣1）×（﹣1）+λ2＝0，解得λ．