Question

【題目】已知函數f（x）= ．（x＞0）
（1）函數f（x）在區間（0，+∞）上是增函數還是減函數？證明你的結論；
（2）若當x＞0時，f（x）＞ 恒成立，求正整數k的最大值．

Answer 1

【答案】
（1）解：函數f（x）=

∴f′（x）= [ ﹣1﹣ln（x+1）]=﹣ [ +ln（x+1）]．

由x＞0，x2＞0， ＞0，ln（x+1）＞0，得f′（x）＜0．

因此函數f（x）在區間（0，+∞）上是減函數

（2）解：解法一：當x＞0時，f（x）＞ 恒成立，令x=1有k＜2[1+ln2]．

又k為正整數．則k的最大值不大于3．

下面證明當k=3時，f（x）＞ （x＞0）恒成立．

即證明x＞0時（x+1）ln（x+1）+1﹣2x＞0恒成立．

令g（x）=（x+1）ln（x+1）+1﹣2x，

則g′（x）=ln（x+1）﹣1．

當x＞e﹣1時，g′（x）＞0；當0＜x＜e﹣1時，g′（x）＜0．

∴當x=e﹣1時，g（x）取得最小值g（e﹣1）=3﹣e＞0．

∴當x＞0時，（x+1）ln（x+1）+1﹣2x＞0恒成立．

因此正整數k的最大值為3．

解法二：當x＞0時，f（x）＞ 恒成立．

即h（x）= ＞k對x＞0恒成立．

即h（x）（x＞0）的最小值大于k．

由h′（x）= ，記Φ（x）=x﹣1﹣ln（x+1）．（x＞0）

則Φ′（x）= ＞0，

∴Φ（x）在（0，+∞）上連續遞增．

又Φ（2）=1﹣ln3＜0，Φ（3）=2﹣2ln2＞0，

∴Φ（x）=0存在惟一實根a，且滿足：a∈（2，3），a=1+ln（a+1），

由x＞a時，Φ（x）＞0，h′（x）＞0；0＜x＜a時，Φ（x）＜0，h′（x）＜0知：

h（x）（x＞0）的最小值為h（a）= =a+1∈（3，4）．

因此正整數k的最大值為3

【解析】（1）直接求函數f（x）的導函數，化簡導函數分子，判斷正負即可；（2）可以先利用特殊值x=1先嘗試k的可能值，然后用導數的方法予以證明；或者構造新函數將問題轉化為求函數最值，利用函數的導數去研究函數的最值即可．