Question

【題目】已知橢圓的離心率，且橢圓過點

（1）求橢圓的標準方程；

（2）設直線與交于、兩點，點在橢圓上，是坐標原點，若，判定四邊形的面積是否為定值？若為定值，求出該定值；如果不是，請說明理由.

Answer 1

【答案】（1）；（2）是定值，其定值為.

【解析】

（1）設橢圓的焦距為，根據題意得出關于、、的方程組，求出和的值，即可得出橢圓的標準方程；

（2）對直線的斜率是否存在進行分類討論，當直線軸時，可得出直線的方程為，可求出四邊形的面積；當直線的斜率存在時，設直線的方程為，設點、，將直線的方程與橢圓的方程聯立，列出韋達定理，求出點的坐標，將點的坐標代入橢圓的方程得出，計算出以及原點到直線的距離，通過化簡計算可得出四邊形的面積為，進而得證.

（1）設橢圓的焦距為，由題意可得，解得，，

因此，橢圓的標準方程為；

（2）當直線的斜率不存在時，直線的方程為或.

若直線的方程為，聯立，可得，

此時，，四邊形的面積為，

同理，當直線的方程為時，可求得四邊形的面積也為；

當直線的斜率存在時，設直線方程是，

代人到，得，

，，，

，

，

點到直線的距離，

由，得，，

點在橢圓上，所以有，整理得，

由題意知，四邊形為平行四邊形，

平行四邊形的面積為.

故四邊形的面積是定值，其定值為.