Question

【題目】己知函數.

（1）當時，求的極值；

（2）當時，函數的圖象與函數的圖象有唯一的交點，求的取值集合.

Answer 1

【答案】（1）函數的極大值是，無極小值；（2）.

【解析】

（1）當時，，由導數為零，解得，從而可知 隨 的變化，進而可求極值；

（2）設設，則與 只有一個交點，即只有一個根，設，結合導數可知，當時，有最大值為，畫出草圖，可求出的取值集合.

（1）解：當時，，則，解得，

則 隨 的變化如表所示

		0

所以函數的極大值是，無極小值；

（2）解：設，則與 只有一個交點，其中，

則只有一個根，即 只有一個根，

設 ，則，

令，則，設，

則令，解得，則 隨 的變化如下表

		0

則當時，取最小值為，

所以，即.

所以 在 上單調遞減，因此只有一個根，即 ，

當 時，， 遞增；當 時，， 遞減，

所以，當時，有最大值為，則簡圖如圖所示，

由題意知， 與圖像只有一個交點，而，所以，即 ，

所以的取值集合為.